Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $128$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $2 x^{2} - 24 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 12}{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$d = - 6$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{8}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $576$ par $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 72$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$e = 0 - 72$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $72$ de $0$ .

$e = - 72$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

Étape 1.3

Remplacez $2 x^{2} - 24 x$ par $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ dans l’équation $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

Étape 1.4

Déplacez $- 72$ du côté droit de l’équation en ajoutant $72$ des deux côtés.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $4 y^{2} + 32 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $32$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{16}{4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Étape 1.6

Remplacez $4 y^{2} + 32 y$ par $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ dans l’équation $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

Étape 1.7

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

Étape 1.8

Simplifiez $- 128 + 72 + 64$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 128$ et $72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 56$ et $64$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $8$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(6, - 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{4 - 2}$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(6 + 2, - 4)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(8, - 4)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(6 - (2), - 4)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(4, - 4)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

Étape 7.5

Simplifiez

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10