Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ égal à $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} + 12 u - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $12$ .

$- 3, 15$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez $- 8 u + u^{2} + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3