Ensembles finis Exemples

$\frac{8 + x}{15 + x} + \frac{3}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Divisez la fraction $\frac{8 + x}{15 + x}$ en deux fractions.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9 + 3 x$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3) + 3 x} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3) + 3 (x)} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3) + 3 (x)$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3 + x)} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3 + x)} = \frac{4}{15}$

Étape 1.1.1.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} = \frac{4}{15}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{4}{15}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$15 + x, 15 + x, 3 + x, 15, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

$15$ a des facteurs de $3$ et $5$ .

$3 \cdot 5$

Étape 2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 15, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 5$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$15$

Étape 2.8

Le facteur pour $15 + x$ est $15 + x$ lui-même.

$(15 + x) = 15 + x$

$(15 + x)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $3 + x$ est $3 + x$ lui-même.

$(3 + x) = 3 + x$

$(3 + x)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $15 + x, 15 + x, 3 + x$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(15 + x) (3 + x)$

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$15 (15 + x) (3 + x)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$ par $15 (15 + x) (3 + x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$ par $15 (15 + x) (3 + x)$ .

$\frac{8}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$15 \frac{8}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $15 \frac{8}{15 + x}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Associez $15$ et $\frac{8}{15 + x}$ .

$\frac{15 \cdot 8}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $15$ par $8$ .

$\frac{120}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $15 + x$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{120}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$120 (3 + x) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$120 \cdot 3 + 120 x + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $120$ par $3$ .

$360 + 120 x + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$360 + 120 x + 15 \frac{x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.7

Associez $15$ et $\frac{x}{15 + x}$ .

$360 + 120 x + \frac{15 x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $15 + x$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$360 + 120 x + \frac{15 x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$360 + 120 x + 15 x (3 + x) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.10

Multipliez $3$ par $15$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x \cdot x + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.11

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.11.1

Déplacez $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 (x \cdot x) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 \frac{1}{3 + x} ((15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.13

Associez $15$ et $\frac{1}{3 + x}$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.14

Annulez le facteur commun de $3 + x$ .

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Étape 3.2.1.14.1

Factorisez $3 + x$ à partir de $(15 + x) (3 + x)$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((3 + x) (15 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((3 + x) (15 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 (15 + x) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 \cdot 15 + 15 x - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.16

Multipliez $15$ par $15$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.17

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 3.2.1.17.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{15}$ dans le numérateur.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.17.2

Factorisez $15$ à partir de $15 (15 + x) (3 + x)$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 ((15 + x) (3 + x))) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.17.3

Annulez le facteur commun.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 ((15 + x) (3 + x))) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.17.4

Réécrivez l’expression.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 ((15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.18

Développez $(15 + x) (3 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 (3 + x) + x (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 \cdot 3 + 15 x + x (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 \cdot 3 + 15 x + x \cdot 3 + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.19.1.1

Multipliez $15$ par $3$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + x \cdot 3 + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.19.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + 3 \cdot x + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.19.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + 3 x + x^{2}) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.19.2

Additionnez $15 x$ et $3 x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 18 x + x^{2}) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.20

Appliquez la propriété distributive.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 \cdot 45 - 4 (18 x) - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.21

Simplifiez

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Étape 3.2.1.21.1

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 180 - 4 (18 x) - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.1.21.2

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $360$ et $225$ .

$120 x + 45 x + 15 x^{2} + 585 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $120 x$ et $45 x$ .

$165 x + 15 x^{2} + 585 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $165 x$ et $15 x$ .

$180 x + 15 x^{2} + 585 - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $72 x$ de $180 x$ .

$108 x + 15 x^{2} + 585 - 180 - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2.5

Soustrayez $4 x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$108 x + 11 x^{2} + 585 - 180 = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.2.2.6

Soustrayez $180$ de $585$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 ((15 \cdot 15 + 15 x) (3 + x))$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $15$ par $15$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 ((225 + 15 x) (3 + x))$

Étape 3.3.2

Développez $(225 + 15 x) (3 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 (3 + x) + 15 x (3 + x))$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 \cdot 3 + 225 x + 15 x (3 + x))$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 \cdot 3 + 225 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x)$

Étape 3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $225$ par $3$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x)$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $15$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 x \cdot x)$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 (x \cdot x))$

Étape 3.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 x^{2})$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $225 x$ et $45 x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 270 x + 15 x^{2})$

Étape 3.3.4

Multipliez $0$ par $675 + 270 x + 15 x^{2}$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 11$ , $b = 108$ et $c = 405$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 108 \pm \sqrt{108^{2} - 4 \cdot (11 \cdot 405)}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $108$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot 11 \cdot 405}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 11 \cdot 405$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 44 \cdot 405}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 44$ par $405$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 17820}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $17820$ de $11664$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 6156}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 6156$ comme $- 1 (6156)$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 1 \cdot 6156}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6156)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6156}$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6156}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{6156}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $6156$ comme $18^{2} \cdot 19$ .

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Étape 4.3.1.7.1

Factorisez $324$ à partir de $6156$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{324 (19)}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.7.2

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{18^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot (18 \sqrt{19})}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.1.9

Déplacez $18$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$x = \frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{22}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{22}$ .

$x = \frac{- 54 \pm 9 i \sqrt{19}}{11}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{54 - 9 i \sqrt{19}}{11}, - \frac{54 + 9 i \sqrt{19}}{11}$

$x = \frac{- 54 \pm 9 i \sqrt{19}}{11}$