Ensembles finis Exemples

$y = 2 x^{2} - 8 x + 11$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{2} - 8 x + 11$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 8 x + 11 = 0$ .

$2 x^{2} - 8 x + 11 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 8$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 11)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 11$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $11$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $88$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 11$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $11$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $88$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{4 + i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 11$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $11$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $88$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{4 - i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{4 + i \sqrt{6}}{2}, \frac{4 - i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 11$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 + 11$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 11$

Étape 2.2.3

Simplifiez $2 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 11$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 11$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 11$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 11$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $11$ .

$y = 11$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 11)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 11)$

Étape 4