Ensembles finis Exemples

$67416 = 6000 {(1 + r)}^{2}$

Étape 1

Soustrayez $6000 {(1 + r)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$67416 - 6000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $67416 - 6000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(1 + r)}^{2}$ comme $(1 + r) (1 + r)$ .

$67416 - 6000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(1 + r) (1 + r)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$67416 - 6000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$67416 - 6000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $r$ par $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $r$ par $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $r$ par $r$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $r$ et $r$ .

$67416 - 6000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$67416 - 6000 \cdot 1 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $- 6000$ par $1$ .

$67416 - 6000 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 6000$ .

$67416 - 6000 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6000$ de $67416$ .

$61416 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Étape 3

Factorisez $- 24$ à partir de $61416 - 12000 r - 6000 r^{2}$ .

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Étape 3.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.1.1

Déplacez $61416$ .

$- 12000 r - 6000 r^{2} + 61416 = 0$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $- 12000 r$ et $- 6000 r^{2}$ .

$- 6000 r^{2} - 12000 r + 61416 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $- 24$ à partir de $- 6000 r^{2}$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 12000 r + 61416 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $- 24$ à partir de $- 12000 r$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) + 61416 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $- 24$ à partir de $61416$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $- 24$ à partir de $- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Étape 3.6

Factorisez $- 24$ à partir de $- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 (- 2559)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r - 2559) = 0$

Étape 4

Utiliser la formule quadratique pour déterminer les racines pour $250 r^{2} + 500 r - 2559 = 0$

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} = 0$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 250$ , $b = 500$ et $c = - 2559$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 500 \pm \sqrt{500^{2} - 4 \cdot (250 \cdot - 2559)}}{2 \cdot 250} = 0$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $500$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 250 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 250 \cdot - 2559$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 1000 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 1000$ par $- 2559$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 + 2559000}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $250000$ et $2559000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{2809000}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $2809000$ comme $530^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $280900$ à partir de $2809000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{280900 (10)}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $280900$ comme $530^{2}$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{530^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{2 \cdot 250}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$ .

$r = \frac{- 50 \pm 53 \sqrt{10}}{50}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Forme décimale :

$r = 2.35201431 \dots, - 4.35201431 \dots$