Ensembles finis Exemples

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 1

Développez $(y + 2) (y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 2.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 2.2

Additionnez $- 6 y$ et $2 y$ .

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Étape 3

Développez $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y^{2} \cdot 12$ et $- 12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.1.2

Soustrayez $12 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.1.3

Additionnez $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ et $0$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1

Déplacez $y$ .

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.6.1

Déplacez $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.8

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.9

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

Étape 4.2.10

Multipliez $- 12$ par $12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.1

Associez les termes opposés dans $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ .

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $- 48 y$ et $48 y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ et $0$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4 y^{3}$ de $- 4 y^{3}$ .

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Étape 5.2

Réécrivez $16 y^{2}$ comme ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

Étape 5.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Étape 5.4

Réécrivez le polynôme.

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

Étape 5.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y^{2}$ et $b = 4 y$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

Étape 6

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y^{2} - 4 y$ et $b = 12$ .

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Factorisez $y^{2} - 4 y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$