Ensembles finis Exemples

${}_{25}C_{10}$

Étape 1

Évaluez ${}_{25}C_{10}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{25!}{(25 - 10)! 10!}$

Étape 2

Soustrayez $10$ de $25$ .

$\frac{25!}{(15)! 10!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{25!}{(15)! 10!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $25!$ comme $25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!$ .

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(15)! 10!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $15!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(15)! 10!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $25$ par $24$ .

$\frac{600 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $600$ par $23$ .

$\frac{13800 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $13800$ par $22$ .

$\frac{303600 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $303600$ par $21$ .

$\frac{6375600 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $6375600$ par $20$ .

$\frac{127512000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $127512000$ par $19$ .

$\frac{2422728000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $2422728000$ par $18$ .

$\frac{43609104000 \cdot 17 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $43609104000$ par $17$ .

$\frac{741354768000 \cdot 16}{10!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $741354768000$ par $16$ .

$\frac{11861676288000}{10!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $10!$ en $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{11861676288000}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $10$ par $9$ .

$\frac{11861676288000}{90 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $90$ par $8$ .

$\frac{11861676288000}{720 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $720$ par $7$ .

$\frac{11861676288000}{5040 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $5040$ par $6$ .

$\frac{11861676288000}{30240 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $30240$ par $5$ .

$\frac{11861676288000}{151200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $151200$ par $4$ .

$\frac{11861676288000}{604800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $604800$ par $3$ .

$\frac{11861676288000}{1814400 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $1814400$ par $2$ .

$\frac{11861676288000}{3628800 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $3628800$ par $1$ .

$\frac{11861676288000}{3628800}$

Étape 3.5

Divisez $11861676288000$ par $3628800$ .

$3268760$