Ensembles finis Exemples

$x - 2 y + 3 z = - 1$ ,

$- 2 x + y - z = 2$ ,

$3 x - 3 y + 2 z = - 1$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Write

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez

$3$ de

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez

$- 4$ et

$3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3 \cdot 1)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3)$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez

$3$ de

$6$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Étape 2.6.1.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$- 1 - 2 + 3 \cdot 3$

Étape 2.6.1.3

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$- 1 - 2 + 9$

Étape 2.6.2

Soustrayez

$2$ de

$- 1$ .

$- 3 + 9$

Étape 2.6.3

Additionnez

$- 3$ et

$9$ .

$6$

$D = 6$

Étape 3

Since the determinant is not

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of

$x$ by Cramer's Rule, which states that

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Replace column

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$x$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 4.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$- 1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$- 1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$- 1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez

$3$ de

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (2 \cdot 2 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2

Multipliez

$- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez

$1$ de

$4$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (2 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$- 3$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - - 1)$

Étape 4.2.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 + 1)$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez

$- 6$ et

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$1 + 6 + 3 \cdot - 5$

Étape 4.2.5.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 5$ .

$1 + 6 - 15$

Étape 4.2.5.2

Additionnez

$1$ et

$6$ .

$7 - 15$

Étape 4.2.5.3

Soustrayez

$15$ de

$7$ .

$- 8$

$D_{x} = - 8$

Étape 4.3

Use the formula to solve for

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 8$ for

$D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 8}{6}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à

$- 8$ et

$6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 8$ .

$x = \frac{2 (- 4)}{6}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 5

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (2 \cdot 2 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$1 (4 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez

$- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 (4 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$1 (4 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Soustrayez

$1$ de

$4$ .

$1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez

$- 4$ et

$3$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2)$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 6)$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez

$6$ de

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Multipliez

$3$ par

$1$ .

$3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$3 - 1 + 3 \cdot - 4$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 4$ .

$3 - 1 - 12$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez

$1$ de

$3$ .

$2 - 12$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez

$12$ de

$2$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Étape 5.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 10$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{6}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à

$- 10$ et

$6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 10$ .

$y = \frac{2 (- 5)}{6}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$6$ .

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 5}{3}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5}{3}$

Étape 6

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 3 & - 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$1 (- 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$1 (- 1 - - 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$1 (- 1 + 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez

$- 1$ et

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 + 2 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez

$6$ de

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 3$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3 \cdot 1)$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3)$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez

$3$ de

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez

$2$ par

$- 4$ .

$5 - 8 - 1 \cdot 3$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$5 - 8 - 3$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez

$8$ de

$5$ .

$- 3 - 3$

Étape 6.2.5.3

Soustrayez

$3$ de

$- 3$ .

$- 6$

$D_{z} = - 6$

Étape 6.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 6$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 6}{6}$

Étape 6.5

Divisez

$- 6$ par

$6$ .

$z = - 1$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{5}{3}$

$z = - 1$