Ensembles finis Exemples

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Étape 3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Étape 3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Étape 3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 8 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 20$

Étape 3.4

Multipliez $- 8$ par $16$ .

$64 - 128 + 21 \cdot 4 - 20$

Étape 3.5

Soustrayez $128$ de $64$ .

$- 64 + 21 \cdot 4 - 20$

Étape 3.6

Multipliez $21$ par $4$ .

$- 64 + 84 - 20$

Étape 3.7

Additionnez $- 64$ et $84$ .

$20 - 20$

Étape 3.8

Soustrayez $20$ de $20$ .

$0$

Étape 4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20}{x - 4}$

Étape 5

Divisez $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ par $x - 4$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$21 x$

$20$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x - 20$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 5$

Étape 6

Écrivez $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 5)$