Ensembles finis Exemples

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 11 + 12} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 y - 15}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Additionnez $11$ et $12$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 y - 15}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 y$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 (y) - 15}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $3$ plus $- 10$

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} + (3 - 10) y - 15}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} + 3 y - 10 y - 15}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{(2 y^{2} + 3 y) - 10 y - 15}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{y (2 y + 3) - 5 (2 y + 3)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 3$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)}$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} \cdot \frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} \cdot \frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)} \cdot \frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 y^{2} + 23) (2 y + 3) (y - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23}$ par $\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)}$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)} \cdot \frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$ par $\frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5)) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(y - 8) (2 y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y (2 y + 3) - 8 (2 y + 3)) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y (2 y) + y \cdot 3 - 8 (2 y + 3)) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y (2 y) + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 y \cdot y + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{(2 (y \cdot y) + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{(2 y^{2} + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 \cdot y - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 y - 16 y - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 y - 16 y - 24) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $16 y$ de $3 y$ .

$\frac{(2 y^{2} - 13 y - 24) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.3

Développez $(2 y^{2} - 13 y - 24) (y - 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 y^{2} y + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y^{2}) + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 6.4.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (y^{1} y^{2}) + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y^{1 + 2} + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 y^{3} + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 (y \cdot y) - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.4

Multipliez $- 5$ par $- 13$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} + 65 y - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.4.5

Multipliez $- 24$ par $- 5$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} + 65 y - 24 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.5

Soustrayez $13 y^{2}$ de $- 10 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 65 y - 24 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.6

Soustrayez $24 y$ de $65 y$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 + (- y - 1 \cdot 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 + (- y - 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.9

Développez $(- y - 6) (2 y^{2} + 23)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2} + 23) - 6 (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y \cdot y^{2} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 (y^{2} y) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.10.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 (y^{2} y^{1}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y^{2 + 1} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y^{3} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.4

Multipliez $23$ par $- 1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 12 y^{2} - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.10.6

Multipliez $- 6$ par $23$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.11

Soustrayez $2 y^{3}$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{- 23 y^{2} + 41 y + 120 + 0 - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.12

Additionnez $- 23 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 23 y^{2} + 41 y + 120 - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.13

Soustrayez $12 y^{2}$ de $- 23 y^{2}$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 41 y + 120 - 23 y - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.14

Soustrayez $23 y$ de $41 y$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 18 y + 120 - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 6.15

Soustrayez $138$ de $120$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 18 y - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 35 y^{2}$ .

$\frac{- (35 y^{2}) + 18 y - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $18 y$ .

$\frac{- (35 y^{2}) - (- 18 y) - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (35 y^{2}) - (- 18 y)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y) - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y) - 1 (18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (35 y^{2} - 18 y) - 1 (18)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y + 18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.6.1

Réécrivez $- (35 y^{2} - 18 y + 18)$ comme $- 1 (35 y^{2} - 18 y + 18)$ .

$\frac{- 1 (35 y^{2} - 18 y + 18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Étape 7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 y^{2} - 18 y + 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$