Ensembles finis Exemples

$(\frac{\frac{25 k^{2} - 10 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}}) \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 25 \cdot - 24 = - 600$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 k$ .

$\frac{\frac{25 k^{2} - 10 (k) - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $20$ plus $- 30$

$\frac{\frac{25 k^{2} + (20 - 30) k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{25 k^{2} + 20 k - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{(25 k^{2} + 20 k) - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{5 k (5 k + 4) - 6 (5 k + 4)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 k + 4$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 2

Factorisez $k$ à partir de $k^{2} + 7 k$ .

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Étape 2.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2}$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 2.2

Factorisez $k$ à partir de $7 k$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + k \cdot 7}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 2.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k + k \cdot 7$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3} + 4 k^{2} - 21 k$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3}$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3.1.2

Factorisez $k$ à partir de $4 k^{2}$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3.1.3

Factorisez $k$ à partir de $- 21 k$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3.1.4

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k^{2} + k (4 k)$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3.1.5

Factorisez $k$ à partir de $k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k - 21)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 3.2

Factorisez $k^{2} + 4 k - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k ((k - 3) (k + 7))}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 4

Factorisez $k^{2} - 6 k + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 16 = - 80$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 k$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 (k) - 16}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $4$ plus $- 20$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + (4 - 20) k - 16}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + 4 k - 20 k - 16}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k^{2} + 4 k) - 20 k - 16}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k (5 k + 4) - 4 (5 k + 4)}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 k + 4$ .

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $5 k - 6$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $5 k - 6$ à partir de $(5 k + 4) (5 k - 6)$ .

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k - 3) (k + 7)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $k (k + 7)$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $k (k + 7)$ à partir de $k (k - 3) (k + 7)$ .

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $5 k + 4$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $k - 4$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

Étape 7.4.2

Divisez $k - 2$ par $1$ .

$(k - 3) \cdot (k - 2)$

Étape 8

Développez $(k - 3) (k - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k - 2) - 3 (k - 2)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 (k - 2)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

Étape 9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

Étape 9.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $k$ .

$k^{2} - 2 \cdot k - 3 k - 3 \cdot - 2$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$k^{2} - 2 k - 3 k + 6$

Étape 9.2

Soustrayez $3 k$ de $- 2 k$ .

$k^{2} - 5 k + 6$