Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 5}{6 x^{2} - x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x - 5}{6 x^{2} - (x) - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$\frac{x - 5}{6 x^{2} + (2 - 3) x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{6 x^{2} + 2 x - 3 x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x - 5}{(6 x^{2} + 2 x) - 3 x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x - 5}{2 x (3 x + 1) - (3 x + 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ et dont la somme est $b = - 15$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 15$ à partir de $- 15 x$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 15$ comme $- 1$ plus $- 14$

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} + (- 1 - 14) x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 1 x - 14 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x^{2} - 1 x) - 14 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{x (2 x - 1) - 7 (2 x - 1)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ et dont la somme est $b = - 20$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 20$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 20$ comme $1$ plus $- 21$

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + (1 - 21) x - 7}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + 1 x - 21 x - 7}$

Étape 3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + x - 21 x - 7}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{(3 x^{2} + x) - 21 x - 7}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{x (3 x + 1) - 7 (3 x + 1)}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{(3 x + 1) (x - 7)}$

Étape 4

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(3 x + 1) (2 x - 1), (2 x - 1) (x - 7), (3 x + 1) (x - 7)$

Étape 5

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 7

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 8

Le facteur pour $3 x + 1$ est $3 x + 1$ lui-même.

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 9

Le facteur pour $2 x - 1$ est $2 x - 1$ lui-même.

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 10

Le facteur pour $x - 7$ est $x - 7$ lui-même.

$(x - 7) = x - 7$

$(x - 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 11

Le facteur pour $3 x + 1$ est $3 x + 1$ lui-même.

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 12

Le facteur pour $x - 7$ est $x - 7$ lui-même.

$(x - 7) = x - 7$

$(x - 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 13

Le plus petit multiple commun de $3 x + 1, 2 x - 1, 2 x - 1, x - 7, 3 x + 1, x - 7$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (x - 7)$