Ensembles finis Exemples

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

Étape 2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$u^{2} + 72 u + 512$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + 72 u + 512$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $512$ et dont la somme est $72$ .

$8, 64$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 8) (u + 64)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

Étape 5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Étape 7.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

Étape 8

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

Étape 9

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

Étape 10.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$