Ensembles finis Exemples

$x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

Étape 1

Factorisez $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

Étape 1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Étape 1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Étape 1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 10 \cdot 1 - 13 \cdot - 1 - 22$

Étape 1.3.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$- 1 + 10 - 13 \cdot - 1 - 22$

Étape 1.3.5

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$9 - 13 \cdot - 1 - 22$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 13$ par $- 1$ .

$9 + 13 - 22$

Étape 1.3.7

Additionnez $9$ et $13$ .

$22 - 22$

Étape 1.3.8

Soustrayez $22$ de $22$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22}{x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ par $x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$22$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{2} + 9 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 22 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							-	$22 x$	-	$22$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 22 x - 22$

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 9 x - 22$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} + 9 x - 22)$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 9 x - 22$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + 9 x - 22$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 22$ et dont la somme est $9$ .

$- 2, 11$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) ((x - 2) (x + 11))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 2) (x + 11)$