Ensembles finis Exemples

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Étape 3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 - 5 \cdot 0.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.5

Multipliez $- 5$ par $0.25$ .

$- 0.25 - 1.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.6

Soustrayez $1.25$ de $- 0.25$ .

$- 1.5 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 3.7

Multipliez $- 15$ par $- 0.5$ .

$- 1.5 + 7.5 - 6$

Étape 3.8

Additionnez $- 1.5$ et $7.5$ .

$6 - 6$

Étape 3.9

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6}{2 x + 1}$

Étape 5

Divisez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ par $2 x + 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$15 x$

$6$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x - 6$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 6$

Étape 6

Écrivez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} - 3 x - 6)$