Ensembles finis Exemples

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ est indéfinie.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réduisez.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun à $12 x + 30$ et $2$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $16 x + 40$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Étape 3.1.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Étape 3.1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Étape 3.1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.1.2

Divisez $6$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.4.6

Placez le terme $15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Étape 3.7

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Étape 3.8

Évaluez la limite.

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Étape 3.8.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Étape 3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Étape 3.8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.8.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.8.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.8.6

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.10

Évaluez la limite.

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Étape 3.10.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Étape 3.10.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.10.2.1

Divisez $6 + 15 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Étape 3.10.2.2

Divisez $4 + 10 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3

Annulez le facteur commun à $6 + 15 \cdot 0$ et $4 + 10 \cdot 0$ .

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Étape 3.10.2.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Étape 3.10.2.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Étape 3.10.2.3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Étape 3.10.2.3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.4.1

Multipliez $0$ par $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 3.10.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.2.5.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Étape 3.10.2.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{3}{2}$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = \frac{3}{2}$

Aucune asymptote oblique

Étape 7