Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ est indéfinie.

$x = - 7, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 7$ depuis la gauche et $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 7$ depuis la droite, $x = - 7$ est une asymptote verticale.

$x = - 7$

Étape 3

Comme $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 7, 2$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} + 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $5$ .

$- 2, 7$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

Étape 8.2

Développez $(x - 2) (x + 7)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Étape 8.2.9

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

Étape 8.2.10

Soustrayez $2 x$ de $7 x$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

Étape 8.13

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Étape 8.14

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $39 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Étape 8.15

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Étape 8.16

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $39 x^{2} + 195 x - 546$

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Étape 8.17

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

Étape 8.18

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

Étape 8.19

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 7, 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{2} - 5 x + 39$

Étape 10