Ensembles finis Exemples

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $4 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Étape 1.1.3

Déplacez $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Étape 1.1.4

Déplacez $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $63$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Étape 1.3

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 18 x$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Étape 1.3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 1.3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.3.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Étape 1.3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9}{9}$

Étape 1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Étape 1.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Étape 1.3.4.2.1.3

Divisez $324$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 1.3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 1.3.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 1.3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Étape 1.4

Remplacez $9 x^{2} - 18 x$ par $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ dans l’équation $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Étape 1.5

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Étape 1.6

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} - 24 y$ .

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Étape 1.6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Étape 1.6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 1.6.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.6.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Étape 1.6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Étape 1.6.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 4$ .

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Étape 1.6.3.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Étape 1.6.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.2.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Étape 1.6.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.6.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.4.2.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Étape 1.6.4.2.1.3

Divisez $576$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Étape 1.6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Étape 1.6.4.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$e = 36$

Étape 1.6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Étape 1.7

Remplacez $- 4 y^{2} - 24 y$ par $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ dans l’équation $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Étape 1.8

Déplacez $36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Étape 1.9

Simplifiez $63 + 9 - 36$ .

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Étape 1.9.1

Additionnez $63$ et $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Étape 1.9.2

Soustrayez $36$ de $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Étape 5.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $6$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Étape 6.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ et $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 9