Ensembles finis Exemples

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Étape 1

Développez $(k + 1) (k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Étape 2.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Étape 2.1.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Étape 2.2

Additionnez $k$ et $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Étape 3

Pour écrire $k^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Étape 4

Associez $k^{2}$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Étape 7

Factorisez $\frac{1}{6}$ dans chaque terme.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 9

Multipliez $k$ par $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 10

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 11

Développez $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.2

Multipliez $k^{2}$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.2.1

Déplacez $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.2.2

Multipliez $k$ par $k^{2}$ .

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Étape 12.1.2.2.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.3

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.5.1

Déplacez $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.1.6

Multipliez $k$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 12.2

Additionnez $k^{2}$ et $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Étape 13

Déplacez $6$ à gauche de $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Étape 14

Additionnez $12 k$ et $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Étape 15

Additionnez $3 k^{2}$ et $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Étape 16

Factorisez.

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Étape 16.1

Réécrivez $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ en forme factorisée.

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Étape 16.1.1

Factorisez $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 16.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 16.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Étape 16.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 16.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.6

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Étape 16.1.1.3.7

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Étape 16.1.1.3.8

Soustrayez $13$ de $7$ .

$- 6 + 6$

Étape 16.1.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 16.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $k + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Étape 16.1.1.5

Divisez $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ par $k + 1$ .

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Étape 16.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Étape 16.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 k^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Étape 16.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Étape 16.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 k^{3} + 2 k^{2}$

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Étape 16.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Étape 16.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Étape 16.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 k^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Étape 16.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Étape 16.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 k^{2} + 7 k$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Étape 16.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Étape 16.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Étape 16.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 k$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Étape 16.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Étape 16.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 k + 6$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Étape 16.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Étape 16.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Étape 16.1.1.6

Écrivez $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Étape 16.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 16.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 16.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 16.1.2.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Étape 16.1.2.1.1.2

Réécrivez $7$ comme $3$ plus $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Étape 16.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Étape 16.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 16.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Étape 16.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Étape 16.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Étape 16.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Étape 16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$