Ensembles finis Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{7}}$ comme $y^{\frac{7}{3}}$ .

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{7} = x^{3}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $x^{7}$ comme ${(x^{2})}^{3} x$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $x^{6}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

Étape 5.2.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.5.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.2.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 5.2.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.2.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.2.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Étape 5.2.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Étape 5.2.7

Multipliez $x^{6}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 5.2.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Étape 5.2.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

Étape 5.2.7.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

Étape 5.3.3

Réécrivez ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ comme $x^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

Étape 5.3.3.3

Associez $\frac{3}{7}$ et $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun à $21$ et $7$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.5.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

Étape 5.3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

Étape 5.3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

Étape 5.3.3.5.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$