Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 8$ .

$(y - 8) (x) = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 8 x = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 8$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 8 x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8} (y - 8)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 8 x = \sqrt{2 y + 3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$ .

$\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$

Étape 3.4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y + 3}}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y + 3}$ comme ${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Simplifiez ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 3)}^{1} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Simplifiez

$2 y + 3 = {(y x - 8 x)}^{2}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Simplifiez ${(y x - 8 x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.3.1.1

Réécrivez ${(y x - 8 x)}^{2}$ comme $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ .

$2 y + 3 = (y x - 8 x) (y x - 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2

Développez $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 3 = y x (y x - 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $y$ .

$2 y + 3 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x \cdot x - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y (x \cdot x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 (x \cdot x) y - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x (- 8 x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x \cdot x$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 (x \cdot x)$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.1.8

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.2

Soustrayez $8 x^{2} y$ de $- 8 y x^{2}$ .

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Étape 3.4.3.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Étape 3.4.3.3.1.3.2.2

Soustrayez $8 x^{2} y$ de $- 8 x^{2} y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2}$

Étape 3.4.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} = 2 y + 3$

Étape 3.4.4.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y = 3$

Étape 3.4.4.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y - 3 = 0$

Étape 3.4.4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.4.5

Remplacez les valeurs $a = x^{2}$ , $b = - 16 x^{2} - 2$ et $c = 64 x^{2} - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 16 x^{2} - 2) \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5

Laissez $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ par $u$ .

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Étape 3.4.4.6.5.1

Réécrivez ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ comme $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.2

Développez $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.6.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.6.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.6.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.6.5.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.5

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.5.3.2

Additionnez $32 x^{2}$ et $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

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Étape 3.4.4.6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.2

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8

Simplifiez

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Étape 3.4.4.6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.6.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.6.8.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.6

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.1.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.2

Associez les termes opposés dans $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.6.8.2.1

Soustrayez $64 x^{4}$ de $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.2.2

Additionnez $16 x^{2} + 1$ et $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.8.3

Additionnez $16 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.9

Réécrivez $4 (19 x^{2} + 1)$ comme $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

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Étape 3.4.4.6.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.6.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.7.1

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2

Annulez le facteur commun à $16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ et $2$ .

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Étape 3.4.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.7.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Étape 3.4.4.7.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.7.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 3.4.4.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.4.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5

Laissez $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ par $u$ .

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Étape 3.4.4.8.1.5.1

Réécrivez ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ comme $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.2

Développez $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.8.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.8.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.5

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.5.3.2

Additionnez $32 x^{2}$ et $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

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Étape 3.4.4.8.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.8.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.8.1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.8.1.8.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.6

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.1.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.2

Associez les termes opposés dans $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.8.1.8.2.1

Soustrayez $64 x^{4}$ de $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.2.2

Additionnez $16 x^{2} + 1$ et $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.8.3

Additionnez $16 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.9

Réécrivez $4 (19 x^{2} + 1)$ comme $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

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Étape 3.4.4.8.1.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3

Annulez le facteur commun à $16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ et $2$ .

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Étape 3.4.4.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.8.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Étape 3.4.4.8.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Étape 3.4.4.8.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 3.4.4.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{19 x^{2} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$19 x^{2} + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$19 x^{2} \geq - 1$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $19 x^{2} \geq - 1$ par $19$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $19 x^{2} \geq - 1$ par $19$ .

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $19$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{19}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} \geq - \frac{1}{19}$

Étape 5.3.2.3

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.3.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.4.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6