Ensembles finis Exemples

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Étape 1

Écrivez $f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ comme une équation.

$y = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$u = - 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$ .

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$

Étape 3.2

Simplifiez $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y t - 4 y \cdot - 4 + 4 y (t - 3) = u$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y (t - 3) = u$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y t + 16 y + 4 y t + 4 y \cdot - 3 = u$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y = u$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Associez les termes opposés dans $- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Additionnez $- 4 y t$ et $4 y t$ .

$16 y + 0 - 12 y = u$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $16 y$ et $0$ .

$16 y - 12 y = u$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $12 y$ de $16 y$ .

$4 y = u$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $4 y = u$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = u$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{u}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ est l’inverse de $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (u)) = u$ et $f (f^{- 1} (u)) = u$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (u))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (u))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $4 u$ à partir de $- 4 u (t - 4)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4) + t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t + 4 + t - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $- t$ et $t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (0 + 4 - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $0$ et $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (4 - 3)}{4}$

Étape 5.2.3.7

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u \cdot 1}{4}$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $u$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = u$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (u))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (u))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{u}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{u}{4}) = - 4 \frac{u}{4} (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) (t - 3)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 (- 1) (\frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{u}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{u}{4}) = - 1 u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{u}{4}) = - u t - u \cdot - 4 + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Étape 5.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u (t - 3)$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t + u \cdot - 3$

Étape 5.3.3.7

Déplacez $- 3$ à gauche de $u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t - 3 u$

Étape 5.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $- u t + 4 u + u t - 3 u$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Additionnez $- u t$ et $u t$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u + 0 - 3 u$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $4 u$ et $0$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u - 3 u$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $3 u$ de $4 u$ .

$f (\frac{u}{4}) = u$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (u)) = u$ et $f (f^{- 1} (u)) = u$ , $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ est l’inverse de $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$