Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ comme une équation.

$y = - 7^{2} + 3 x + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 7^{2} + 3 y + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 7^{2} + 3 y + 3 = x$ .

$- 7^{2} + 3 y + 3 = x$

Étape 3.2

Simplifiez $- 7^{2} + 3 y + 3$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 1 \cdot 49 + 3 y + 3 = x$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$- 49 + 3 y + 3 = x$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 49$ et $3$ .

$3 y - 46 = x$

Étape 3.3

Ajoutez $46$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = x + 46$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $3 y = x + 46$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x + 46$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3}{3} + \frac{46}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3 + 46}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 1 \cdot 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 49$ et $3$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x - 46 + 46}{3}$

Étape 5.2.5.2

Associez les termes opposés dans $3 x - 46 + 46$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Additionnez $- 46$ et $46$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 7^{2} + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 1 \cdot 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Étape 5.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 46 + 3$

Étape 5.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 49$ et $46$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x - 3 + 3$

Étape 5.3.4.2

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$