Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ comme une équation.

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ .

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

Étape 3.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Placez $y^{2 - 4}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 5 y^{- - 2} = x$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 5 y^{2} = x$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y^{2} = x$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y^{2} = x$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

Étape 3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Étape 3.3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Étape 3.3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- \frac{x}{5} \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x}{5} \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x}{5} \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Divisez $\frac{x}{5}$ par $1$ .

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{x}{5} \leq 0$

Étape 5.3.2.2

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez

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Étape 5.3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Étape 5.3.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \leq 0 \cdot 5$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.2.1

Multipliez $0$ par $5$ .

$x \leq 0$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2 - 4} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $x^{2 - 4}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$x^{- 2} = 0$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 5.4.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 5.4.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 5.4.3

Définissez la base dans $x^{2 - 4}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.4.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Déterminez la plage de l’inverse.

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Étape 5.5.1

Déterminez la plage de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Étape 5.5.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.5.2

Déterminez la plage de $- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Étape 5.5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0]$

Étape 5.5.3

Déterminez l’union de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Étape 5.5.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.6

Comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ n’est pas égal au domaine de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6