Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ comme une équation.

$y = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{- 3 y + 2}{7 y + 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ .

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$7 y + 2, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$7 y + 2, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$7 y + 2$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ par $7 y + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} = x$ par $7 y + 2$ .

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} (7 y + 2) = x (7 y + 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $7 y + 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y + 2}{7 y + 2} (7 y + 2) = x (7 y + 2)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 y + 2 = x (7 y + 2)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y + 2 = x (7 y) + x \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 y + 2 = 7 x y + x \cdot 2$

Étape 3.3.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 3 y + 2 = 7 x y + 2 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $7 x y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y + 2 - 7 x y = 2 x$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y - 7 x y = 2 x - 2$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y - 7 x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y$ .

$y \cdot - 3 - 7 x y = 2 x - 2$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 7 x y$ .

$y \cdot - 3 + y (- 7 x) = 2 x - 2$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 3 + y (- 7 x)$ .

$y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$ par $- 3 - 7 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- 3 - 7 x) = 2 x - 2$ par $- 3 - 7 x$ .

$\frac{y (- 3 - 7 x)}{- 3 - 7 x} = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 - 7 x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- 3 - 7 x)}{- 3 - 7 x} = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 3 - 7 x} + \frac{- 2}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x - 2}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 3.4.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) - 2}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 3 - 7 x}$

Étape 3.4.4.3.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3) - 7 x}$

Étape 3.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3) - (7 x)}$

Étape 3.4.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (7 x)$ .

$y = \frac{2 (x - 1)}{- 1 (3 + 7 x)}$

Étape 3.4.4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 ((\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) - 1)}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2} - 1 \cdot \frac{7 x + 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.2

Associez $- 1$ et $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2} + \frac{- (7 x + 2)}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - (7 x + 2)}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $\frac{- 3 x + 2 - (7 x + 2)}{7 x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - (7 x) - 1 \cdot 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - 7 x - 1 \cdot 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 2 - 7 x - 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4.4

Soustrayez $7 x$ de $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x + 2 - 2}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x + 0}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.4.6

Additionnez $- 10 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 10 x}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{2 \cdot (- 1 \frac{10 x}{7 x + 2})}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.6

Associez les exposants.

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Étape 5.2.3.6.1

Factorisez le signe négatif.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- (2 (\frac{10 x}{7 x + 2}))}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.6.2

Associez $2$ et $\frac{10 x}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{2 (10 x)}{7 x + 2}}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.3.6.3

Multipliez $10$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{3 + 7 (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2})}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Associez $7$ et $\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{3 + \frac{7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{3 (7 x + 2)}{7 x + 2} + \frac{7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{3 (7 x + 2) + 7 (- 3 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{7 (- 3 x + 2) + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{7 (- 3 x + 2) + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{7 (- 3 x) + 7 \cdot 2 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.2

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 7 \cdot 2 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 3 (7 x + 2)}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 3 (7 x) + 3 \cdot 2}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.5

Multipliez $7$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 21 x + 3 \cdot 2}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{- 21 x + 14 + 21 x + 6}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.7

Additionnez $- 21 x$ et $21 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{0 + 14 + 6}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.8

Additionnez $0$ et $14$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{14 + 6}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.4.5.9

Additionnez $14$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - \frac{- \frac{20 x}{7 x + 2}}{\frac{20}{7 x + 2}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (- \frac{20 x}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 5.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{20 x}{7 x + 2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- 20 x}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Étape 5.2.6.2

Factorisez $20$ à partir de $- 20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{20 (- x)}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Étape 5.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{20 (- x)}{7 x + 2} \cdot \frac{7 x + 2}{20})$

Étape 5.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- x}{7 x + 2} \cdot (7 x + 2))$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $7 x + 2$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = - (\frac{- x}{7 x + 2} \cdot (7 x + 2))$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{- 3 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 3 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{3 (\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.1.2

Associez $3$ et $\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{3 (2 (x - 1))}{3 + 7 x} + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 + 7 x}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1)}{3 + 7 x} + \frac{2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $\frac{6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 1)$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 1) + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 x + 3 \cdot - 1 + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (3 x - 3 + 3 + 7 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.4

Additionnez $3 x$ et $7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (10 x - 3 + 3)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.5

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 (10 x + 0)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.6

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{2 \cdot (10 x)}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.3.5.7

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) + 2}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $7 (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x})$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- 7 \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Étape 5.3.4.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 7 (2 (x - 1))}{3 + 7 x} + 2}$

Étape 5.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 14 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Étape 5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- \frac{14 (x - 1)}{3 + 7 x} + 2}$

Étape 5.3.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 + 7 x}{3 + 7 x}$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{- \frac{14 (x - 1)}{3 + 7 x} + \frac{2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 (x - 1) + 2 (3 + 7 x)$ .

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Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 (x - 1)$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 (x - 1)) + 2 (3 + 7 x)$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 (x - 1) + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 x - 7 \cdot - 1 + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (- 7 x + 7 + 3 + 7 x)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.4

Additionnez $- 7 x$ et $7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (0 + 7 + 3)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.5

Additionnez $0$ et $7$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 (7 + 3)}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.5.6

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{2 \cdot 10}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{\frac{20 x}{7 x + 3}}{\frac{20}{3 + 7 x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 x}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 (x)}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{20 x}{7 x + 3} \cdot \frac{3 + 7 x}{20}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x}{7 x + 3} \cdot (3 + 7 x)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{7 x + 3}$ par $3 + 7 x$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (3 + 7 x)}{7 x + 3}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun à $3 + 7 x$ et $7 x + 3$ .

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Étape 5.3.8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (7 x + 3)}{7 x + 3}$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = \frac{x (7 x + 3)}{7 x + 3}$

Étape 5.3.8.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 3 x + 2}{7 x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 (x - 1)}{3 + 7 x}$