Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{3 x}{x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 y}{y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 y}{y + 5} = x$ .

$\frac{3 y}{y + 5} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 5, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 5, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 5$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 y}{y + 5} = x$ par $y + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 y}{y + 5} = x$ par $y + 5$ .

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y = x (y + 5)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y = x y + x \cdot 5$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 y = x y + 5 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y - x y = 5 x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y - x y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y \cdot 3 - x y = 5 x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 3 + y (- x) = 5 x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- x)$ .

$y (3 - x) = 5 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (3 - x) = 5 x$ par $3 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (3 - x) = 5 x$ par $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 - x$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{5 x}{3 - x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 - x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{3 x}{x + 5})}{3 - (\frac{3 x}{x + 5})}$

Étape 5.2.3

Associez $5$ et $\frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{3 - \frac{3 x}{x + 5}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5)}{x + 5} - \frac{3 x}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (x + 5) - 3 x}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{- 3 x + 3 (x + 5)}{x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x + 3 (x + 5)$ .

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Étape 5.2.4.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x) + 3 (x + 5)}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 (0 + 5)}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.4.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{3 \cdot 5}{x + 5}}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{\frac{15 x}{x + 5}}{\frac{15}{x + 5}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{15 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{15}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{3 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3 - x})}{(\frac{5 x}{3 - x}) + 5}$

Étape 5.3.3

Associez $3$ et $\frac{5 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x}{3 - x} + \frac{5 (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{5 x + 5 (3 - x)}{- x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5 (3 - x)$ .

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Étape 5.3.4.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (3 - x)}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (3 - x)$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (x + 3 - x)}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 (0 + 3)}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.4.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{5 \cdot 3}{- x + 3}}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{\frac{15 x}{3 - x}}{\frac{15}{- x + 3}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 (x)}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{15 x}{3 - x} \cdot \frac{- x + 3}{15}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (- x + 3)$

Étape 5.3.8

Multipliez $\frac{x}{3 - x}$ par $- x + 3$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{3 - x}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun à $- x + 3$ et $3 - x$ .

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Étape 5.3.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Étape 5.3.9.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{3 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 - x}$