Ensembles finis Exemples

$f (x) = - \frac{3}{4} x + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{3}{4} x + 1$ comme une équation.

$y = - \frac{3}{4} x + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{3}{4} y + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{3}{4} y + 1 = x$ .

$- \frac{3}{4} y + 1 = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $y$ et $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} + 1 = x$

Étape 3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- \frac{3 y}{4} + 1 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 y}{4} = x - 1$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (x - 1)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{4}{3} (x - 1)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 1$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 1$

Étape 3.5.2.1.3

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 1 (\frac{4}{3})$

Étape 3.5.2.1.3.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 3.5.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3}{4} x + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = - \frac{4 (- \frac{3}{4} x + 1)}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 4 (- \frac{3}{4} x + 1) + 4}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 4 (- \frac{x \cdot 3}{4} + 1) + 4}{3}$

Étape 5.2.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4} + 1) + 4}{3}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{4}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 4 \frac{- 3 x}{4} - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{4 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{- 1 (- 3 x) - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{3 x - 4 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{3 x - 4 + 4}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x - 4 + 4$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = 1 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{4}{3} + 1$

Étape 5.3.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot 4 + 1$

Étape 5.3.3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot 4 + 1$

Étape 5.3.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{3}{4} x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$