Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{1}{x + 9}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x + 9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y + 9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y + 9} = x$ .

$\frac{1}{y + 9} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 9, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 9, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 9$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y + 9} = x$ par $y + 9$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y + 9} = x$ par $y + 9$ .

$\frac{1}{y + 9} (y + 9) = x (y + 9)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 9$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 9} (y + 9) = x (y + 9)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (y + 9)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x y + x \cdot 9$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$1 = x y + 9 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y + 9 x = 1$ .

$x y + 9 x = 1$

Étape 3.4.2

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y = 1 - 9 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $x y = 1 - 9 x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x y = 1 - 9 x$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Étape 3.4.3.3.1.2

Divisez $- 9$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x} - 9$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{x + 9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 9}} - 9$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = 1 (x + 9) - 9$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $x + 9$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x + 9 - 9$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 9 - 9$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{x} - 9)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 9) + 9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{x} - 9) = 1 x$

Étape 5.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$