Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Étape 3.2

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Étape 3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Étape 3.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Étape 3.2.3.2

Divisez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x - 1$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x - 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Étape 5.2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Étape 5.3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x - 1$ et $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez

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Étape 5.3.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Étape 5.3.3.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Étape 5.3.3.3.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Étape 5.3.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (x - 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x - 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$