Ensembles finis Exemples

$f (x) = 2 \sin (2 x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \sin (2 x)$ comme une équation.

$y = 2 \sin (2 x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \sin (2 y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (2 y) = x$ .

$2 \sin (2 y) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 y) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 y) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (2 y)$ par $1$ .

$\sin (2 y) = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sin (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Étape 5.3.4

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$