Ensembles finis Exemples

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ comme une équation.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 + \sqrt{y + 5} = x$ .

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 5}$ comme ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Étape 3.5.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.2

Développez $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{x + 5}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ comme $x + 5$ .

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Étape 5.2.3.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.1.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.3.3

Additionnez $2 \sqrt{x + 5}$ et $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $4 \sqrt{x + 5}$ de $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $9 + x - 8$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 4 x - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$