Ensembles finis Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ comme une équation.

$y = 2 x^{2} - 4 x - 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} - 4 y - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} - 4 y - 2 = x$ .

$2 y^{2} - 4 y - 2 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 4 y - 2 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 4$ et $c = - 2 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $- 8 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

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Étape 3.5.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $- 8 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.7.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (2 \cdot (- 2 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2 + 2 \cdot (- 2 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 2 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $- 8 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

$y = \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ et $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 4, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 2 (- 4 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 2 (- 4 - x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (- 4 - x) \geq 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (- 4 - x) \geq 0$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 (- 4 - x)}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (- 4 - x)}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $- 4 - x$ par $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$- 4 - x \leq 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x \leq 4$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x \geq - 4$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 4, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ est le domaine de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}, \frac{2 - \sqrt{- 2 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 6