Ensembles finis Exemples

$f (x) = 1 + \frac{9}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ comme une équation.

$y = 1 + \frac{9}{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 + \frac{9}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \frac{9}{y} = x$ .

$1 + \frac{9}{y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{9}{y} = x - 1$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{9}{y} = x - 1$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{9}{y} = x - 1$ par $y$ .

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 = x y - y$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - y = 9$ .

$x y - y = 9$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x y - y$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - y = 9$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 9$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 9$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 9$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 9$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + \frac{9}{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{(1 + \frac{9}{x}) - 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x} + 0}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $\frac{9}{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{9}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + \frac{9}{\frac{9}{x - 1}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$