Ensembles finis Exemples

f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Étape 1

Écrivez

f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ comme une équation.

y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Étape 2

Interchangez les variables.

x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

(y - 7) (y + 1), 1

$(y - 7) (y + 1), 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ par

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ par

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ .

\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de

(y - 7) (y + 1)

$(y - 7) (y + 1)$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Développez

$(y - 7) (y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Étape 3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Multipliez

$y$ par

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2.1.2

Multipliez

$y$ par

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2.1.3

Multipliez

$- 7$ par

$1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Étape 3.3.3.2.2

Soustrayez

$7 y$ de

$y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Étape 3.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez

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Étape 3.3.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.4.2

Déplacez

$- 7$ à gauche de

$x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Comme

$y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Étape 3.4.2

Soustrayez

$y$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Étape 3.4.3

Ajoutez

$9$ aux deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Étape 3.4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.5

Remplacez les valeurs

$a = x$ ,

$b = - 6 x - 1$ et

$c = - 7 x + 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez

$- 6$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.4

Réécrivez

${(- 6 x - 1)}^{2}$ comme

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5

Développez

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.2

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.6.1.2.1

Déplacez

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.2.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.3

Multipliez

$- 6$ par

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.5

Multipliez

$- 6$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.2

Additionnez

$6 x$ et

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.6.9

Multipliez

$9$ par

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.10.1

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.10.1.1

Déplacez

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10.1.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.11

Additionnez

$36 x^{2}$ et

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.12

Soustrayez

$36 x$ de

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.7

Remplacez le

$\pm$ par

$+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

$-$ du

$\pm$ .

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Étape 3.4.8.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.2

Multipliez

$- 6$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.4

Réécrivez

${(- 6 x - 1)}^{2}$ comme

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5

Développez

$(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.2

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.6.1.2.1

Déplacez

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.2.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.3

Multipliez

$- 6$ par

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.5

Multipliez

$- 6$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.2

Additionnez

$6 x$ et

$6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.9

Multipliez

$9$ par

$- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.10.1

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1.10.1.1

Déplacez

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10.1.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.11

Additionnez

$36 x^{2}$ et

$28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.12

Soustrayez

$36 x$ de

$12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.8.2

Remplacez le

$\pm$ par

$-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 5

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ est l’inverse de

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ et

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs

$y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans

$\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ supérieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez les valeurs

$a = 64$ ,

$b = - 24$ et

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1.1

Élevez

$- 24$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.2.2

Multipliez

$- 256$ par

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.3

Soustrayez

$256$ de

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.4

Réécrivez

$320$ comme

$8^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1.4.1

Factorisez

$64$ à partir de

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.4.2

Réécrivez

$64$ comme

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.2

Multipliez

$2$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.4.3

Simplifiez

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

$+$ du

$\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.1

Élevez

$- 24$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.2.2

Multipliez

$- 256$ par

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.3

Soustrayez

$256$ de

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.4

Réécrivez

$320$ comme

$8^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.4.1

Factorisez

$64$ à partir de

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.4.2

Réécrivez

$64$ comme

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.2

Multipliez

$2$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.5.3

Simplifiez

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.5.4

Remplacez le

$\pm$ par

$+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

$-$ du

$\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.1

Élevez

$- 24$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.2.2

Multipliez

$- 256$ par

$1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.3

Soustrayez

$256$ de

$576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.4

Réécrivez

$320$ comme

$8^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.4.1

Factorisez

$64$ à partir de

$320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.4.2

Réécrivez

$64$ comme

$8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.2

Multipliez

$2$ par

$64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.6.3

Simplifiez

$\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.6.4

Remplacez le

$\pm$ par

$-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.2.9.1.2

Remplacez

$x$ par

$0$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.1.3

Le côté gauche

$1$ est supérieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.19$

Étape 5.3.2.9.2.2

Remplacez

$x$ par

$0.19$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.2.3

Le côté gauche

$- 1.2496$ est inférieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.3.2.9.3.2

Remplacez

$x$ par

$3$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.3.3

Le côté gauche

$505$ est supérieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Faux

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Faux

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Vrai

Étape 5.3.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ ou

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ ou

$x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans

$\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = 0$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans

$2 x = 0$ par

$2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans

$2 x = 0$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1

Divisez

$0$ par

$2$ .

$x = 0$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ n’est pas égal à la plage de

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ ,

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ n’est pas un inverse de

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6