Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ comme une équation.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(y - 7) (y + 1)$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ par $(y - 7) (y + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ par $(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $(y - 7) (y + 1)$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Développez $(y - 7) (y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Étape 3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Étape 3.3.3.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Étape 3.3.3.2.2

Soustrayez $7 y$ de $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Étape 3.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez

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Étape 3.3.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Étape 3.3.3.4.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Étape 3.4.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Étape 3.4.3

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Étape 3.4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.5

Remplacez les valeurs $a = x$ , $b = - 6 x - 1$ et $c = - 7 x + 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.4

Réécrivez ${(- 6 x - 1)}^{2}$ comme $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5

Développez $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.6.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.6.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.6.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.6.9

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.6.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.6.10.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.10.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.11

Additionnez $36 x^{2}$ et $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.6.12

Soustrayez $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.7

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.4

Réécrivez ${(- 6 x - 1)}^{2}$ comme $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5

Développez $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.8.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.8.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.8.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.8.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.6.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.9

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.8.1.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.8.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.10.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.11

Additionnez $36 x^{2}$ et $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Étape 3.4.8.1.12

Soustrayez $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.8.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 3.4.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez les valeurs $a = 64$ , $b = - 24$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4

Simplifiez

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Étape 5.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.4.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Étape 5.3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 256$ par $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.3

Soustrayez $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.4

Réécrivez $320$ comme $8^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.2.4.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.4.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 256$ par $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.3

Soustrayez $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.4

Réécrivez $320$ comme $8^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.5.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.5.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.2.2

Multipliez $- 256$ par $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.3

Soustrayez $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.4

Réécrivez $320$ comme $8^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Étape 5.3.2.6.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Étape 5.3.2.6.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.19$

Étape 5.3.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0.19$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.2.3

Le côté gauche $- 1.2496$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.3.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2.9.3.3

Le côté gauche $505$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Faux

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Vrai

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Faux

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Vrai

Étape 5.3.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ ou $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = 0$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6