Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ comme une équation.

$y = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 5 y + 5 + y (4 y + 3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$ .

$- 5 y + 5 + y (4 y + 3) = x$

Étape 3.2

Simplifiez $- 5 y + 5 + y (4 y + 3)$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 y + 5 + y (4 y) + y \cdot 3 = x$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + y \cdot 3 = x$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y \cdot y + 3 \cdot y = x$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1

Déplacez $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 (y \cdot y) + 3 \cdot y = x$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 \cdot y = x$

$- 5 y + 5 + 4 y^{2} + 3 y = x$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 5 y$ et $3 y$ .

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y + 5 + 4 y^{2} - x = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 2$ et $c = 5 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 76 + 16 x$ .

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Étape 3.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $4 (- 19 + 4 x)$ comme $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Étape 3.6.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.6

Soustrayez $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 76 + 16 x$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $4 (- 19 + 4 x)$ comme $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Étape 3.7.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.4

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 80 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.6

Soustrayez $80$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 76 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 76 + 16 x$ .

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Étape 3.8.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19) + 4 (4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 19) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.8

Réécrivez $4 (- 19 + 4 x)$ comme $2^{2} (- 19 + 2^{2} x)$ .

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Étape 3.8.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 4 x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 19 + 2^{2} x)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 2^{2} x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 19 + 4 x}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ et $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 19 + 4 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 19 + 4 x \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x \geq 19$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x \geq 19$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x \geq 19$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{19}{4}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{19}{4}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{19}{4}, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ se trouve sur la plage de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ est le domaine de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - 5 x + 5 + x (4 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}, \frac{1 - \sqrt{- 19 + 4 x}}{4}$

Étape 6