Ensembles finis Exemples

$f (x) = 5 (2 x + 3)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 (2 x + 3)$ comme une équation.

$y = 5 (2 x + 3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 (2 y + 3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 (2 y + 3) = x$ .

$5 (2 y + 3) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 (2 y + 3) = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 (2 y + 3) = x$ par $5$ .

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $2 y + 3$ par $1$ .

$2 y + 3 = \frac{x}{5}$

Étape 3.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \frac{x}{5} - 3$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \frac{x}{5} - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \frac{x}{5} - 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.3.1.2

Multipliez $\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{5 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 (2 x + 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{10} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3 - 3}{2}$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $2 x + 3 - 3$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 (5)}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 \cdot 5}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} - 3 + 3)$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\frac{x}{5} - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 0)$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $\frac{x}{5}$ et $0$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$