Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (4 y) = 2 x$

Étape 3.4

Réécrivez $\log (4 y) = 2 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $4 y = 10^{2 x}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 10^{2 x}$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez $1 \cdot \log (4 x)$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Étape 5.2.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Étape 5.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2 x$ de l’exposant.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Étape 5.3.5

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Étape 5.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$