Ensembles finis Exemples

$f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ comme une équation.

$y = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = (\frac{2}{9}) y - \frac{1}{9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$ .

$\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{2}{9}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{9} - \frac{1}{9} = x$

Étape 3.3

Ajoutez $\frac{1}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 y}{9} = x + \frac{1}{9}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $\frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 3.5.2.1.2

Associez $\frac{9}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 3.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 3.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $x$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9} - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = (\frac{2}{9}) (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 (x)) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$ .

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1 - 1}{9}$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{0}{9}$

Étape 5.3.4.3

Divisez $0$ par $9$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$