Ensembles finis Exemples

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

Étape 1

Écrivez $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ comme une équation.

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $60 e^{- 0.14 y} = t$ .

$60 e^{- 0.14 y} = t$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $60 e^{- 0.14 y} = t$ par $60$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $60 e^{- 0.14 y} = t$ par $60$ .

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $60$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $e^{- 0.14 y}$ par $1$ .

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{- 0.14 y})$ en déplaçant $- 0.14 y$ hors du logarithme.

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 0.14$ par $1$ .

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ par $- 0.14$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ par $- 0.14$ .

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.14$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Étape 3.5.3.2

Multipliez par $1$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $0.14$ à partir de $0.14$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

Étape 3.5.3.4

Séparez les fractions.

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Étape 3.5.3.5

Divisez $1$ par $0.14$ .

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Étape 3.5.3.6

Divisez $\ln (\frac{t}{60})$ par $1$ .

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

Étape 3.5.3.7

Multipliez $7.\overline{142857}$ par $- 1$ .

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Étape 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Étape 5

Vérifiez si $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ est l’inverse de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $C^{- 1} (C (t)) = t$ et $C (C^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $C^{- 1} (C (t))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$C^{- 1} (C (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ en remplaçant la valeur de $C$ par $C^{- 1}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $60$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Étape 5.2.3.2

Divisez $e^{- 0.14 t}$ par $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

Étape 5.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 0.14 t$ de l’exposant.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

Étape 5.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 0.14$ par $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $- 0.14$ par $- 7.\overline{142857}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

Étape 5.3

Évaluez $C (C^{- 1} (t))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$C (C^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ en remplaçant la valeur de $C^{- 1}$ par $C$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ en déplaçant $7.\overline{142857}$ dans le logarithme.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{t}{60}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

Étape 5.3.5

Élevez $60$ à la puissance $7.\overline{142857}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Étape 5.3.6

Multipliez par $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Étape 5.3.7

Factorisez $5024355493192.33$ à partir de $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

Étape 5.3.8

Séparez les fractions.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

Étape 5.3.9

Divisez $1$ par $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

Étape 5.3.10

Divisez $t^{7.\overline{142857}}$ par $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

Étape 5.3.11

Multipliez $- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ .

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Étape 5.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

Étape 5.3.11.2

Simplifiez $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ en déplaçant $0.14$ dans le logarithme.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

Étape 5.3.12

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

Étape 5.3.13

Appliquez la règle de produit à $0 t^{7.\overline{142857}}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Étape 5.3.14

Élevez $0$ à la puissance $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Étape 5.3.15

Multipliez les exposants dans ${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ .

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Étape 5.3.15.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

Étape 5.3.15.2

Multipliez $7.\overline{142857}$ par $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

Étape 5.3.16

Multipliez $0.01\overline{6}$ par $60$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

Étape 5.4

Comme $C^{- 1} (C (t)) = t$ et $C (C^{- 1} (t)) = t$ , $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ est l’inverse de $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$