Ensembles finis Exemples

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$

Étape 1

Écrivez $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ comme une équation.

$y = - 16 t^{2} + 32 t$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = - 16 y^{2} + 32 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 16 y^{2} + 32 y = t$ .

$- 16 y^{2} + 32 y = t$

Étape 3.2

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$- 16 y^{2} + 32 y - t = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 16$ , $b = 32$ et $c = - t$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot (- t))}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $64$ à partir de $1024 - 64 t$ .

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Étape 3.5.1.3.1

Factorisez $64$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.3.2

Factorisez $64$ à partir de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.3.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $64 (16 - t)$ comme $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $64$ à partir de $1024 - 64 t$ .

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Étape 3.6.1.3.1

Factorisez $64$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.3.2

Factorisez $64$ à partir de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.3.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $64 (16 - t)$ comme $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $64$ à partir de $1024 - 64 t$ .

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Étape 3.7.1.3.1

Factorisez $64$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.3.2

Factorisez $64$ à partir de $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.3.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $64 (16 - t)$ comme $8^{2} (4^{2} - t)$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ est l’inverse de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ et $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 16]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{16 - t}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$16 - t \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $t$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$- t \geq - 16$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- t \geq - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- t \geq - 16$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t \leq \frac{- 16}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$t \leq 16$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 16]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ se trouve sur la plage de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ et comme la plage de $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ est le domaine de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ est l’inverse de $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Étape 6