Ensembles finis Exemples

$P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Étape 1

Écrivez $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ comme une équation.

$y = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$ .

$- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$

Étape 3.2

Simplifiez $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $80$ par $50$ .

$- 0.4 y^{2} + 4000 - 1600 = x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1600$ de $4000$ .

$- 0.4 y^{2} + 2400 = x$

Étape 3.3

Soustrayez $2400$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.4 y^{2} = x - 2400$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ par $- 0.4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ par $- 0.4$ .

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.4$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.3

Factorisez $0.4$ à partir de $0.4$ .

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4 (1)} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.4

Séparez les fractions.

$y^{2} = - (\frac{1}{0.4} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.5

Divisez $1$ par $0.4$ .

$y^{2} = - (2.5 \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.6

Divisez $x$ par $1$ .

$y^{2} = - (2.5 x) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.7

Multipliez $2.5$ par $- 1$ .

$y^{2} = - 2.5 x + \frac{- 2400}{- 0.4}$

Étape 3.4.3.1.8

Divisez $- 2400$ par $- 0.4$ .

$y^{2} = - 2.5 x + 6000$

Étape 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $2.5$ à partir de $- 2.5 x + 6000$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $2.5$ à partir de $- 2.5 x$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 6000}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $2.5$ à partir de $6000$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 2.5 (2400)}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $2.5$ à partir de $2.5 (- x) + 2.5 (2400)$ .

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x + 2400)}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $2.5 (- x + 2400)$ comme ${({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)$ .

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Étape 3.6.2.1

Réécrivez $2.5$ comme ${1.58113883}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{1.58113883}^{2} (- x + 2400)}$

Étape 3.6.2.2

Réécrivez $1.58113883$ comme ${1.25743342}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)}$

Étape 3.6.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm {1.25743342}^{2} \sqrt{- x + 2400}$

Étape 3.6.4

Élevez $1.25743342$ à la puissance $2$ .

$y = \pm 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 5

Vérifiez si $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ est l’inverse de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ et $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2400]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 2400}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x + 2400 \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $2400$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 2400$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 2400$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 2400$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 2400}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 2400$ par $- 1$ .

$x \leq 2400$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2400]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ se trouve sur la plage de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ et comme la plage de $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ est le domaine de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ , $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ est l’inverse de $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ .

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

Étape 6