Ensembles finis Exemples

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$

Étape 1

Écrivez $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ comme une équation.

$y = - 70 x^{2} + 15000 x$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 70 y^{2} + 15000 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 70 y^{2} + 15000 y = x$ .

$- 70 y^{2} + 15000 y = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 70 y^{2} + 15000 y - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 70$ , $b = 15000$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (- 70 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $280$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $40$ à partir de $225000000 - 280 x$ .

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Étape 3.5.1.3.1

Factorisez $40$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.3.2

Factorisez $40$ à partir de $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.3.3

Factorisez $40$ à partir de $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $40 (5625000 - 7 x)$ comme $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $280$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $40$ à partir de $225000000 - 280 x$ .

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Étape 3.6.1.3.1

Factorisez $40$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.3.2

Factorisez $40$ à partir de $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.3.3

Factorisez $40$ à partir de $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $40 (5625000 - 7 x)$ comme $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $280$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $40$ à partir de $225000000 - 280 x$ .

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Étape 3.7.1.3.1

Factorisez $40$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.3.2

Factorisez $40$ à partir de $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.3.3

Factorisez $40$ à partir de $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $40 (5625000 - 7 x)$ comme $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 5

Vérifiez si $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ est l’inverse de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ et $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{10 (5625000 - 7 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$10 (5625000 - 7 x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ par $10$ .

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $5625000 - 7 x$ par $1$ .

$5625000 - 7 x \geq \frac{0}{10}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

$5625000 - 7 x \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $5625000$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 7 x \geq - 5625000$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 7 x \geq - 5625000$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x \geq - 5625000$ par $- 7$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 5.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x \leq \frac{5625000}{7}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ se trouve sur la plage de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ et comme la plage de $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ est le domaine de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ , $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ est l’inverse de $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Étape 6