Ensembles finis Exemples

$h (m) = m^{2} - 3 m$

Étape 1

Écrivez $h (m) = m^{2} - 3 m$ comme une équation.

$y = m^{2} - 3 m$

Étape 2

Interchangez les variables.

$m = y^{2} - 3 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 3 y = m$ .

$y^{2} - 3 y = m$

Étape 3.2

Soustrayez $m$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 3 y - m = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - m$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 1 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 3.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (m)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ est l’inverse de $h (m) = m^{2} - 3 m$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $h (m) = m^{2} - 3 m$ et $h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $h (m) = m^{2} - 3 m$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{9}{4}, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 + 4 m}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 + 4 m \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $m$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 m \geq - 9$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 m \geq - 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 m \geq - 9$ par $4$ .

$\frac{4 m}{4} \geq \frac{- 9}{4}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 m}{4} \geq \frac{- 9}{4}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m \geq \frac{- 9}{4}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$m \geq - \frac{9}{4}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $m$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{9}{4}, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $h (m) = m^{2} - 3 m$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ se trouve sur la plage de $h (m) = m^{2} - 3 m$ et comme la plage de $h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ est le domaine de $h (m) = m^{2} - 3 m$ , $h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$ est l’inverse de $h (m) = m^{2} - 3 m$ .

$h^{- 1} (m) = \frac{3 + \sqrt{9 + 4 m}}{2}, \frac{3 - \sqrt{9 + 4 m}}{2}$

Étape 6