Ensembles finis Exemples

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ comme une équation.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Étape 3.2

Remplacez $\sqrt{e^{y} + 1}$ par $u$ .

$\sin (u) = x$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur du sinus.

$u = \arcsin (x)$

Étape 3.4

Remplacer $u$ par $\sqrt{e^{y} + 1}$ et résoudre $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Étape 3.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e^{y} + 1}$ comme ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Simplifiez ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Simplifiez

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Étape 3.4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Étape 3.4.3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Étape 3.4.3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.3.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Étape 3.4.3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Étape 3.4.3.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Étape 5.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Étape 5.3.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Étape 5.3.5

Additionnez ${\arcsin (x)}^{2}$ et $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Étape 5.3.7

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$