Ensembles finis Exemples

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ comme une équation.

$y = 1.5 x^{2} - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1.5 y^{2} - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1.5 y^{2} - 4 = x$ .

$1.5 y^{2} - 4 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$1.5 y^{2} = x + 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $1.5 y^{2} = x + 4$ par $1.5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $1.5 y^{2} = x + 4$ par $1.5$ .

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1.5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3.1.2

Factorisez $1.5$ à partir de $1.5$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3.1.3

Séparez les fractions.

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3.1.4

Divisez $1$ par $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3.1.5

Divisez $x$ par $1$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

Étape 3.3.3.1.6

Divisez $4$ par $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ est l’inverse de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 4, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $2.\overline{6}$ des deux côtés de l’inégalité.

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ par $0.\overline{6}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ par $0.\overline{6}$ .

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.\overline{6}$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 2.\overline{6}$ par $0.\overline{6}$ .

$x \geq - 4$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 4, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6