Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ comme une équation.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Étape 3.3.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ par $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Étape 3.3.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Étape 3.3.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun de $y + 8$ .

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Étape 3.3.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Étape 3.3.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Étape 3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun de $y - 8$ .

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Étape 3.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Étape 3.3.1.4.2.2

Divisez $8 y$ par $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Étape 3.4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.3

Remplacez les valeurs $a = x$ , $b = - 8$ et $c = - 64 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Étape 3.4.4

Simplifiez

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 + 256 x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.1.5.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.5.2

Factorisez $64$ à partir de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.5.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.6

Réécrivez $64 (1 + 4 x^{2})$ comme $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1.6.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.4.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 + 256 x^{2}$ .

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Étape 3.4.5.1.5.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.5.2

Factorisez $64$ à partir de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.5.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.6

Réécrivez $64 (1 + 4 x^{2})$ comme $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

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Étape 3.4.5.1.6.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.5.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.5.2

Simplifiez $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.5.4

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

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Étape 3.4.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.5.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 + 256 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1.5.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.5.2

Factorisez $64$ à partir de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.5.3

Factorisez $64$ à partir de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.6

Réécrivez $64 (1 + 4 x^{2})$ comme $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

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Étape 3.4.6.1.6.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.6.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.4.6.2

Simplifiez $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.6.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Étape 3.4.6.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Étape 3.4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} \geq - 1$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} \geq - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} \geq - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.2.3

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6