Ensembles finis Exemples

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ comme une équation.

$y = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ .

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

Étape 3.2

Réécrivez $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ .

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

Étape 3.3.2

Simplifiez ${(\frac{1}{5})}^{x}$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

Étape 3.3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{1}{5^{x}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{5^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$