Ensembles finis Exemples

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 y} - 2 = x$ .

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y}$ comme ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Étape 2.4.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 2.4.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.5.3.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Étape 2.5.3.1.2

Divisez $4$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x}$ comme ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.6

Évaluez l’exposant.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Étape 4.2.4.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.8

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.3

Divisez ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.5

Développez $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.6.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.4.6.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.4

Réécrivez $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ comme $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.5

Réécrivez $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ comme $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.6.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Étape 4.2.4.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Étape 4.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Étape 4.2.5.2

Associez les termes opposés dans $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Étape 4.2.5.2.2

Additionnez $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Étape 4.3.3.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Étape 4.3.3.1.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.3.1.5

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Étape 4.3.3.1.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Étape 4.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Étape 4.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Étape 4.3.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Étape 4.3.3.6

Associez $4$ et $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Étape 4.3.3.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.7.1

Réduisez l’expression $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Étape 4.3.3.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Étape 4.3.3.7.2

Divisez ${(x + 2)}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Étape 4.3.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$