Ensembles finis Exemples

$x y + 2 y = 1$

Étape 1

Factorisez $y$ à partir de $x y + 2 y$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + 2 y = 1$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y x + y \cdot 2 = 1$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) = 1$ par $x + 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) = 1$ par $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x + 2}$

Étape 3

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y + 2}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{y + 2} = x$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 2, 1$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 2, 1$

Étape 4.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 2$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y + 2} = x$ par $y + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y + 2} = x$ par $y + 2$ .

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (y + 2)$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x y + x \cdot 2$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$1 = x y + 2 x$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y + 2 x = 1$ .

$x y + 2 x = 1$

Étape 4.4.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y = 1 - 2 x$

Étape 4.4.3

Divisez chaque terme dans $x y = 1 - 2 x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 4.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x y = 1 - 2 x$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 4.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 4.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 4.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 4.4.3.3.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x} - 2$

Étape 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$

Étape 6

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

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Étape 6.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 6.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 6.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 6.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 2}} - 2$

Étape 6.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = 1 (x + 2) - 2$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 2 - 2$

Étape 6.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 6.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 0$

Étape 6.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x$

Étape 6.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 6.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 6.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{x} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 2) + 2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 6.3.3.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 6.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{x} - 2) = 1 x$

Étape 6.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = x$

Étape 6.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$