Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$

Étape 1

Définissez $x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ égal à $0$ .

$x^{2} e^{x} - 4 e^{x} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 4 e^{x} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 4 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4$ .

$e^{x} (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$e^{x} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$e^{x} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 3